Hoy quiero dedicar mi post a los chicos de segundo año de "la tres del siete" , porque siempre hablamos de PI; pero ¿Quien es?
Se lo define como el cociente entre la
longitud de una circunferencia y su diámetro. Esto quiere decir, la
cantidad de veces que el diámetro está contenido en el perímetro.
Podemos calcular un valor aproximado a
través de una simple experiencia casera, midiendo el perímetro de algún objeto
cilíndrico y luego dividiendo el mismo, por el diámetro.
¿Cuánto les da? Si midieron con cierto cuidado, seguramente el resultado se
aproxima a “tres y pico...”
Lo curioso es que para todos los
círculos, sean grandes o pequeños, la relación circunferencia y diámetro,
es siempre la misma PI. Un número tan especial que tiene infinitas
cifras decimales no periódicas y hasta un nombre propio, aunque ésto,
como muchas otras cosas, no siempre se supo.
Desde hace aprox. unos 5000 años, el
hombre ha utilizado objetos que ruedan para ayudarse en sus tareas, por
eso es muy probable que haya descubierto ese "3 y pico” hace muchos años,
pues es imprescindible para calcular y resolver problemas que involucraran
estos cuerpos.
Cuenta la historia, que los antiguos egipcios en el 1600 a. de C. ya sabían que existía una relación entre la longitud
de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro
al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede
leerse lo siguiente:
"Corta 1/9 del diámetro y
construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo
área que el circulo".
Si llamamos A al área del círculo, ésta
será igual a 8/9 del diámetro al cuadrado
A=(8/9
d)^2
Como d=2r
entonces A= 2r^2 x 64/81 = 4r2 x 64/81 = r2 x
256/81
Así vemos como π adoptaba el
valor 256/81, aproximadamente 3,16. En Mesopotamia,
más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3,125
(3+1/8) según la Tablilla de Susa.
Mientras que los geómetras de la Grecia
clásica sabían que la razón entre la longitud de una circunferencia
cualquiera y su diámetro es siempre una constante (el número al que ahora
llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón
entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de
una esfera y el cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel
momento, libro XII de "Los Elementos" de Euclides).
Fue Arquímedes en el siglo III a. de C.
quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con π.
Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo en una
circunferencia, polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica
aproximación para la época :
3+10/71 < π < 3+1/7
es decir, el número buscado está
entre 3,1407 y 3,1428
A partir de éste principio, en el siglo
II d. de C, Ptolomeo utilizó polígonos de hasta 720 lados y una
circunferencia de 60 unidades de radio para aproximar un poco más, y da el
valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3,14166...
En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu
Hui en el siglo III, utilizó polígonos de hasta 3072 lados para conseguir
el valor de 3,14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor
aproximado 355/113 = 3,1415929...
Los Siddhantas hindúes, que datan del 380 d. de C. registran a π con
un valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3,1416. Un valor de Pi muy
aceptado y difundido.
Utilizando el método de Arquímedes, en
el siglo XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216
lados para aproximarse hasta 3,141592653 ; pero el mayor logro
conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf
van Ceulen que trabajó en el cálculo de π casi hasta el
día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de miles de lados para
conseguir una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo fue que,
después de su muerte, se grabará sobre su lápida el número con los 35 decimales
calculados.
El siguiente avance teórico se atribuye a dos holandeses: Willebrod
Snell y Christian Huyghens , en el siglo XVII con cuyas
fórmulas se obtienen 3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da
una idea de lo próximos que están a π.
Como vemos, el número de lados necesarios para calcular 35 decimales con
el método de Arquímedes es bastante considerable, y los nuevos métodos de Snell
y Huyghens tampoco resultaron demasiado eficaces. El trabajo necesario para
calcular más y más decimales empezaba a escapar a las posibilidades del ser
humano. Pero nuevos métodos estaban naciendo y empezando a crecer en las
mentes de algunos matemáticos. Durante el siglo XVII empezaron a utilizarse las
series, productos infinitos y fracciones continuas, y el cálculo diferencial de
Leibnitz y Newton jugó un papel importante en todo ello.
En 1674 el alemán G. Leibnitz
obtiene la serie: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9
-...
pero presenta el mismo problema. Tienen que sumarse unos 19 millones de
términos para conseguir 7 decimales correctos. Dejemos claro que el haber
encontrado estas expresiones supone un gran mérito, aunque no son útiles en la
práctica para calcular π con precisión.
La solución a todo debía ser una serie
de convergencia rápida, sin elcálculo de raíces o expresiones
excesivamente complejas. John Machin encuentra una solución.
Utilizando esa fórmula, él consiguió 100 decimales ¡Calculados a mano!
Fue en el año 1706 cuando el galés William
Jones afirmó: «3,14159 = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y al
adoptarlo Leonard Euler, en 1737 lo convirtió en la notación habitual
que se usa hasta nuestros días.
Así, se siguieron
hallando cifras y cifras para Pi y obviamente nunca se halló su periodicidad.
Pero una gran diferencia surge con el diseño de la primera computadora, a
partir de ahí se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π
, que permitieron hallar grandes cantidades decimales. De esta forma, en 1949
con la ENiAC y rompiendo todos los récords, se obtuvieron 2.037 cifras
decimales en 70 horas.
Lo último que sabemos, es que en Enero 2011, Shigeru Kondo, un ingeniero de sistemas japonés
calculó el valor de “pi” con aproximación a cinco trillones de dígitos.
Todo ello usando una computadora armada por él mismo.
Como podemos ver a través de esta
historia, paradójicamente, el valor de Pi ha ido cambiando con el tiempo,
aunque siempre ha representado lo mismo. Nunca se alcanzaran sus infinitas cifras; pero el hombre desea estar cada vez más cerca.
Cosas de la
matemática, ¿No?
